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数学ガールのsin(x)のテイラー展開をMaximaで検証

私は数学ガールという本を近頃読んでいる。言ってみれば数学の萌え本だ。
いつもは読む気になれない数学の証明を萌え本形式で書いている。だいたいなるほどと思うところがあるが、よくわからないところは読み飛ばしている。
その中でそうなのか~と思ったのはsin(x)のテイラー展開だった。(232ページ~233ページ)
sin(x)のテイラー展開の部分和を徐々に加えていくと、徐々にsin(x)のグラフに近づいて行くというのが予想していなかったので面白かった。それじゃということで、私が大学のころはなかった文明の利器を使って検証してみた。
使ったのは数値計算のためのソフトウェア。初めはOctaveを使おうと思ったんだけど、どうもよくやり方が分からなくて断念。前から使っていたMaximaを使うことにした。このMaximaは娘に2次方程式を聞かれたときに、答え合わせ用に使っていたものだ。これで検証してみることにした。
作ったファイル (sin_taylor.wxm) を下に示す。

F(x) := sin(x);
G(x) := x/1;
H(x) := x/1 - x*x*x/(1*2*3);
I(x) := x/1 - x*x*x/(1*2*3) + x*x*x*x*x/(1*2*3*4*5);
J(x) := x/1 - x*x*x/(1*2*3) + x*x*x*x*x/(1*2*3*4*5) - x*x*x*x*x*x*x/(1*2*3*4*5*6*7);
plot2d([F,G,H,I,J],[x,-7,7],[y,-10,10]);


このファイルをwxMaximaからOpenするとwxMaxmaの画面はこうなる。
Maxima_1_090606.png

そしてMaximaによって書かれたグラフが下。
Maxima_2_090606.png

最初の部分和 F(x)は y=x で、これはsin(x)を微分したcos(x)のx=0の時の値に等しいので、sin(x)のx=0の時の接線になっている。そこから部分和を追加ていくごとにsin(x)に近づいて行くのが分かる。これはよくわかるのではないだろうか?
面白そうなのでもう少しやってみた。

K(x) := x/1 - x*x*x/(1*2*3) + x*x*x*x*x/(1*2*3*4*5) - x*x*x*x*x*x*x/(1*2*3*4*5*6*7) + x^9/9!;
L(x) := x/1 - x*x*x/(1*2*3) + x*x*x*x*x/(1*2*3*4*5) - x*x*x*x*x*x*x/(1*2*3*4*5*6*7) + x^9/9! - x^11/11!;
plot2d([F,K,L],[x,-7,7],[y,-10,10]);


下がそのグラフ。
Maxima_3_090606.png

だいぶsin(x)に近づいてきた。このように部分和の数を増やしていくと、x=0の点から段々とsin(x)に近づいてくるとは思わなかった。面白い。。。

数学ガールも読み物としては面白いが、もう1冊買ったのだった。”やり直しのための工業数学”という本を買った。こちらは、CRCや暗号、フーリエ変換などが書いてある。こっちを勉強することにしようと思う。特にCRCやハフマン符号化。

#こんなにsin(x)の近似していないところの発散がひどいのでは近似式として使えないなと思ったけど、考えてみたら-π~πまで近似していれば、後は-π~πに折り返せばいいのか? そうすると9の階乗の部分和くらいまででいいのかな?
  1. 2009年06月06日 19:28 |
  2. EDAツールについて
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:3

コメント

こんばんは。
”やり直しのための工業数学”の著者は、”「やり直しのための工業数学」読了後の、やり直しのための工業数学”って本が必要なぐらい、説明がヘタクソです^^;)。 あまりこの本1冊に頼らない方がよろしいかと。

>-π~πまで近似していれば、後は-π~πに折り返せばいいのか? そうすると9の階乗の部分和くらいまででいいのかな

そういうことでーす。
  1. 2009/06/07(日) 01:19:28 |
  2. URL |
  3. くり #mQop/nM.
  4. [ 編集 ]

くりさん、コメントありがとうございます。

確かに”やり直しのための工業数学”もっと平易に書いてあればと思いました。漫画のほうがいいでしょうね。ですが、考え方によっては幅広く、いろいろな符号化などの公式が書いてありますし、これをリファレンスとして使って、足りないところはネットでも見ることにします。
昔々に符号理論の授業はとったので、パラパラ見た感じでは大丈夫そうな気がします。(読む気になるかどうかは別としてですが。。。)
  1. 2009/06/07(日) 04:49:11 |
  2. URL |
  3. marsee #f1oWVgn2
  4. [ 編集 ]

実は 0~π/4でいけたりとかします
  1. 2009/07/06(月) 14:30:46 |
  2. URL |
  3. tkuro #-
  4. [ 編集 ]

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